Mi az a konszonancia?

Az előző megjegyzésben megtudtuk, hogyan működik a hang. Ismételjük meg ezt a képletet:

HANG = FÖLDHANG + MINDEN TÖBB FELHANG

Ezen kívül, ahogy a japánok csodálják a cseresznyevirágokat, mi is csodálni fogjuk a frekvencia átviteli grafikont – a hang amplitúdó-frekvencia karakterisztikáját (1. ábra):

Emlékezzünk vissza, hogy a vízszintes tengely a hangmagasságot (oszcillációs frekvenciát), a függőleges tengely pedig a hangosságot (amplitúdót) jelenti.

Minden függőleges vonal harmonikus, az első harmonikust általában alapharmonikusnak nevezik. A harmonikusok a következőképpen vannak elrendezve: a második harmonikus 2-szer magasabb, mint az alaphang, a harmadik három, a negyedik négy, és így tovább.

A rövidség kedvéért a „gyakoriság helyett nfelharmonikus” egyszerűen azt mondjuk „nharmonikus”, az „alapfrekvencia” helyett pedig a „hangfrekvencia”.

Tehát a frekvenciamenetet nézve nem lesz nehéz megválaszolnunk azt a kérdést, hogy mi az a konszonancia.

Hogyan kell a végtelenségig számolni?

A konszonancia szó szerint „együtthangzást”, együttes hangzást jelent. Hogyan hangozhat együtt két különböző hang?

Rajzoljuk őket ugyanarra a diagramra egymás alá (2. ábra):

Íme a válasz: egyes harmonikusok frekvenciája egybeeshet. Logikus az a feltételezés, hogy minél több az egyező frekvencia, annál több a „közönséges” hang, és ebből következően annál nagyobb az összhang egy ilyen intervallum hangjában. Hogy teljesen pontosak legyünk, nem csak az illeszkedő felharmonikusok száma fontos, hanem az is, hogy az összes hangzó felharmonikus milyen arányban egyezik, vagyis az illesztések számának az összhangzó felharmonikusok számához viszonyított aránya.

Megkapjuk a legegyszerűbb képletet a konszonancia kiszámításához:

ahol N_sovp a megfelelő harmonikusok száma,  N_közös a hangzó harmonikusok teljes száma (a különböző hangfrekvenciák száma), és cons és ez a kívánt összhang. A matematikai helyesség érdekében jobb, ha a mennyiséget nevezzük a frekvencia konszonancia mértéke.

Nos, a dolog kicsi: számolni kell N_sovp и N_közös, ossza el egyiket a másikkal, és kapja meg a kívánt eredményt.

Az egyetlen probléma az, hogy mind a felharmonikusok teljes száma, mind a hozzáillő harmonikusok száma végtelen.

Mi történik, ha a végtelent elosztjuk a végtelennel?

Változtassuk meg az előző diagram léptékét, „távoljunk el” tőle (3. ábra)

Látjuk, hogy a megfelelő harmonikusok újra és újra előfordulnak. A kép ismétlődik (4. ábra).

Ez az ismétlés a segítségünkre lesz.

Elég, ha a pontozott téglalapok egyikében (például az elsőben) kiszámoljuk az (1) arányt, akkor az ismétlések miatt és a teljes sorban ez az arány változatlan marad.

Az egyszerűség kedvéért az első (alsó) hang alaphangjának frekvenciáját egységgel egyenlőnek tekintjük, a második hang alaphangjának frekvenciáját pedig irreducibilis törtként írjuk le.  .

Zárójelben jegyezzük meg, hogy a zenei rendszerekben általában pontosan olyan hangokat használnak, amelyek frekvenciájának arányát valamilyen törttel fejezzük ki.  . Például a kvint intervalluma az arány  , liter –  , triton -   elvisszük helyi falvakba ahol megismerkedhet az őslakosok kultúrájával; ...

Számítsuk ki az (1) arányt az első téglalapon belül (4. ábra).

Meglehetősen könnyű megszámolni az illeszkedő harmonikusok számát. Formailag kettő van, az egyik az alsó hanghoz tartozik, a második a felsőhöz, a 4. ábrán pirossal vannak jelölve. De mindkét harmonikus ugyanazon a frekvencián szól, ha megszámoljuk az illeszkedő frekvenciákat, akkor csak egy ilyen frekvencia lesz.

Mennyi a hangfrekvenciák száma összesen?

Vitatkozzunk így.

Az alsó hang összes harmonikusa egész számokba van rendezve (1, 2, 3 stb.). Amint a felső hang bármely harmonikusa egész szám, egybeesik a legalsó felharmonikusok egyikével. A felső hang minden harmonikusa az alaphang többszöröse , tehát a frekvencia n-a harmonikus egyenlő lesz:

azaz egész szám lesz (mivel m egy egész szám). Ez azt jelenti, hogy a téglalap felső hangjának felharmonikusai vannak az elsőtől (alaphangtól) a hangszínig n- Ó, tehát hang n frekvenciákat.

Mivel az alsó hang összes harmonikusa egész számokban található, és a (3) szerint, az első egybeesés a frekvencián következik be. m, kiderül, hogy a téglalapon belüli alsó hang ad m hangfrekvenciák.

Meg kell jegyezni, hogy az egybeeső gyakoriság m ismét kétszer számoltunk: amikor a felső hang frekvenciáit számoltuk, és amikor az alsó hang frekvenciáit számoltuk. De valójában a gyakoriság egy, és a helyes válaszhoz ki kell vonnunk egy „extra” gyakoriságot.

A téglalapon belüli összes hangfrekvencia összege:

Ha behelyettesítjük (2) és (4)-et az (1) képletbe, egy egyszerű kifejezést kapunk a konszonancia kiszámításához:

Az általunk kiszámított hangok összhangjának hangsúlyozása érdekében ezeket a hangokat zárójelben jelölheti cons:

Egy ilyen egyszerű képlet segítségével kiszámíthatja bármely intervallum konszonanciáját.

És most nézzük meg a frekvencia-konszonancia néhány tulajdonságát és a számítási példákat.

Tulajdonságok és példák

Először is számítsuk ki a legegyszerűbb intervallumok konszonanciáit, és győződjön meg arról, hogy a (6) képlet „működik”.

Melyik intervallum a legegyszerűbb?

Mindenképpen prima. Két hang egyszerre szólal meg. Egy diagramon így fog kinézni:

Látjuk, hogy abszolút minden hangfrekvencia egybeesik. Ezért a konszonanciának egyenlőnek kell lennie:

Most helyettesítsük az arányszámmal az uniszont  a (6) képletbe a következőket kapjuk:

A számítás egybeesik az „intuitív” válasszal, ami várható.

Vegyünk egy másik példát, amelyben az intuitív válasz ugyanolyan nyilvánvaló – az oktáv.

Egy oktávban a felső hang 2-szer magasabb, mint az alsó (az alaphang frekvenciája szerint), illetve a grafikonon így fog kinézni:

A grafikonon látható, hogy minden második harmonikus egybeesik, és az intuitív válasz: a konszonancia 50%.

Számítsuk ki a (6) képlettel:

És ismét, a számított érték megegyezik az „intuitív” értékkel.

Ha a hangot alsó hangnak vesszük nak nek és ábrázolja a konszonancia értékét az oktávon belüli összes intervallumra a grafikonon (egyszerű intervallumok), a következő képet kapjuk:

Az összhang legmagasabb mértéke az oktávban, a kvintben és a negyedikben van. Történelmileg a „tökéletes” összhangzatokra hivatkoztak. A moll és nagy terc, valamint a moll és nagy hatodik valamivel alacsonyabb, ezek a hangközök „tökéletlen” összhangzatnak számítanak. A többi hangköz alacsonyabb fokú konszonanciával rendelkezik, hagyományosan a disszonanciák csoportjába tartozik.

Most felsoroljuk a frekvencia-konsonancia mértékének néhány tulajdonságát, amelyek a számítási képletből származnak:

1. Minél összetettebb az arány  (minél több szám m и n), annál kevésbé mássalhangzó az intervallum.

И m и n a (6) képletben a nevezőben vannak, ezért ezeknek a számoknak a növekedésével a konszonancia mértéke csökken.

2. Az intervallum felfelé irányuló konszonanciája megegyezik az intervallum lefelé mutató konszonanciájával.

Ahhoz, hogy felfelé irányuló intervallum helyett lefelé irányuló intervallumot kapjunk, szükségünk van az arányra   csere m и n. De a (6) képletben semmi sem fog megváltozni egy ilyen cserétől.

3. Egy intervallum frekvenciakonszonanciájának mértéke nem attól függ, hogy milyen hangból építjük fel.

Ha mindkét hangot ugyanazzal az időközzel felfelé vagy lefelé tolja (például egy kvintet épít, ne hangból nak nek, hanem a jegyzetből újra), majd az arány  A hangok közötti különbség nem változik, következésképpen a frekvenciakonszonancia mértéke ugyanaz marad.

Megadhatnánk a konszonancia más tulajdonságait is, de most ezekre szorítkozunk.

Fizika és dalszöveg

A 7. ábra képet ad a konszonancia működéséről. De valóban így érzékeljük az intervallumok összhangját? Vannak emberek, akik nem szeretik a tökéletes összhangokat, de a legdisszonánsabb harmóniák kellemesnek tűnnek?

Igen, biztosan léteznek ilyen emberek. És ennek magyarázatához két fogalmat kell megkülönböztetni: fizikai összhang и észlelt összhang.

Minden, amit ebben a cikkben megvizsgáltunk, a fizikai összhanghoz kapcsolódik. Kiszámításához tudnia kell, hogyan működik a hang, és hogyan adódnak össze a különböző rezgések. A fizikai összhang megteremti az észlelt összhangzás előfeltételeit, de nem határozza meg 100%-ban.

Az észlelt összhang meghatározása nagyon egyszerűen történik. Megkérdezik az embert, hogy tetszik-e neki ez az összhang. Ha igen, akkor számára ez az összhang; ha nem, akkor disszonancia. Ha két hangközt kap az összehasonlításhoz, akkor azt mondhatjuk, hogy az egyik pillanatnyilag mássalhangzóbbnak, a másik kevésbé tűnik az embernek.

Kiszámolható az észlelt összhang? Még ha feltételezzük is, hogy lehetséges, ez a számítás katasztrofálisan bonyolult lesz, még egy végtelent fog tartalmazni – az ember végtelenségét: tapasztalatait, hallási jellemzőit és agyi képességeit. Ezt a végtelent nem olyan könnyű kezelni.

A kutatás azonban folyamatban van ezen a területen. Különösen Ivan Soshinsky zeneszerző, aki hanganyagokat kínál ezekhez a hangjegyekhez, kifejlesztett egy programot, amellyel minden egyes személy számára egyéni térképet készíthet a konszonanciák észleléséről. Jelenleg fejlesztés alatt áll a mu-theory.info oldal, ahol bárki kipróbálhatja és megtudhatja hallása jellemzőit.

És mégis, ha van egy érzékelt összhang, és az eltér a fizikaitól, akkor mi értelme van az utóbbit kiszámítani? Ezt a kérdést konstruktívabban is újrafogalmazhatjuk: hogyan kapcsolódik ez a két fogalom?

Tanulmányok azt mutatják, hogy az átlagos észlelt összhangzat és a fizikai összhang között 80% körüli a korreláció. Ez azt jelenti, hogy minden embernek megvannak a saját egyéni jellemzői, de a hang fizikája elsöprő mértékben hozzájárul a konszonancia meghatározásához.

Természetesen ezen a területen a tudományos kutatás még csak az elején tart. Hangszerkezetként pedig egy viszonylag egyszerű többharmonikus modellt vettünk, és a konszonancia számításánál a legegyszerűbbet – frekvenciát – alkalmaztuk, és nem vettük figyelembe az agyi tevékenység sajátosságait a hangjel feldolgozásakor. De az a tény, hogy még az ilyen egyszerűsítések keretein belül is nagyon magas fokú összefüggést sikerült elérni az elmélet és a kísérlet között, nagyon biztató és további kutatásra ösztönöz.

A tudományos módszer alkalmazása a zenei harmónia területén nem korlátozódik a konszonanciaszámításra, érdekesebb eredményeket is ad.

Például a tudományos módszer segítségével a zenei harmónia grafikusan ábrázolható, vizualizálható. Ennek mikéntjéről legközelebb beszélünk.

Szerző – Roman Oleinikov